选自Medium

作者：Ben Shaver

机器之心编译

参与：黄小天、刘晓坤

在众多经典的贝叶斯方法中，马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）由于包含大量数学知识，且计算量很大，而显得格外特别。本文反其道而行之，试图通过通俗易懂且不包含数学语言的方法，帮助读者对 MCMC 有一个直观的理解，使得毫无数学基础的人搞明白 MCMC。

在我们中的很多人看来，贝叶斯统计学家不是巫术师，就是完全主观的胡说八道者。在贝叶斯经典方法中，马尔可夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo/MCMC）尤其神秘，其中数学很多，计算量很大，但其背后原理与数据科学有诸多相似之处，并可阐释清楚，使得毫无数学基础的人搞明白 MCMC。这正是本文的目标。

那么，到底什么是 MCMC 方法？一言以蔽之：

MCMC 通过在概率空间中随机采样以近似兴趣参数（parameter of interest）的后验分布。

我将在本文中做出简短明了的解释，并且不借助任何数学知识。

首先，解释重要的术语。「兴趣参数」（parameter of interest）可以总结我们感兴趣现象的一些数字。我们通常使用统计学评估参数，比如，如果想要了解成年人的身高，我们的兴趣参数可以是精确到英寸的平均身高。「分布」是参数的每个可能值、以及我们有多大可能观察每个参数的数学表征，其最著名的实例是钟形曲线：

在贝叶斯统计学中，分布还有另外一种解释。贝叶斯不是仅仅表征一个参数值以及每个参数有多大可能是真值，而是把分布看作是我们对参数的「信念」。因此，钟形曲线表明我们非常确定参数值相当接近于零，但是我们认为在一定程度上真值高于或低于该值的可能性是相等的。

事实上，人的身高确实遵从一个正态曲线，因此我们假定平均身高的真值符合钟形曲线，如下所示：

很明显，上图表征是巨人的身高分布，因为据图可知，最有可能的平均身高是 6'2"（但他们也并非超级自信）。

让我们假设其中某个人后来收集到一些数据，并且观察了身高在 5"和 6"之间的一些人。我们可以用另一条正态曲线表征下面的数据，该曲线表明了哪些平均身高值能最好地解释这些数据：

在贝叶斯统计中，表征我们对参数信念的分布被称为「先验分布」，因为它在我们看到任何数据之前捕捉到了我们的信念。「可能性分布」（likelihood distribution）通过表征一系列参数值以及伴随的每个参数值解释观察数据的可能性，以总结数据之中的信息。评估最大化可能性分布的参数值只是回答这一问题：什么参数值会使我们更可能观察到已经观察过的数据？如果没有先验信念，我们可能无法对此作出评估。

但是，贝叶斯分析的关键是结合先验与可能性分布以确定后验分布。它可以告诉我们哪个参数值最大化了观察到已观察过的特定数据的概率，并把先验信念考虑在内。在我们的实例中，后验分布如下所示：

如上所示，红线表征后验分布。你可以将其看作先验和可能性分布的一种平均值。由于先验分布较小且更加分散，它表征了一组关于平均身高真值的「不太确定」的信念。同时，可能性分布在相对较窄的范围内总结数据，因此它表征了对真参数值的「更确定」的猜测。

当先验与可能性分布结合在一起，数据（由可能性分布表征）主导了假定存在于这些巨人之中的个体的先验弱信念。尽管该个体依然认为平均身高比数据告诉他的稍高一些，但是他非常可能被数据说服。

在两条钟形曲线的情况下，求解后验分布非常容易。有一个结合了两者的简单等式。但是如果我们的先验和可能性分布表现很差呢？有时使用非简化的形状建模数据或先验信念时是最精确的。如果可能性分布需要带有两个峰值的分布才能得到最好地表征呢？并且出于某些原因我们想要解释一些非常奇怪的先验分布？通过手动绘制一个丑陋的先验分布，我已可视化了该情景，如下所示：

可视化由 Matplotlib 渲染，并使用 MS Paint 做了改善

如前所述，存在一些后验分布，它给出了每个参数值的可能性分布。但是很难得到完整的分布，也无法解析地求解。这就是使用 MCMC 方法的时候了。

MCMC 允许我们在无法直接计算的情况下评估后验分布的形状。为了理解其工作原理，我将首先介绍蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation），接着讨论马尔可夫链。

蒙特卡洛模拟只是一种通过不断地生成随机数来评估固定参数的方法。通过生成随机数并对其做一些计算，蒙特卡洛模拟给出了一个参数的近似值（其中直接计算是不可能的或者计算量过大）。

假设我们想评估下图中的圆圈面积：

由于圆在边长为 10 英寸的正方形之内，所以通过简单计算可知其面积为 78.5 平方英寸。但是，如果我们随机地在正方形之内放置 20 个点，接着我们计算点落在圆内的比例，并乘以正方形的面积，所得结果非常近似于圆圈面积。

由于 15 个点落在了圆内，那么圆的面积可以近似地为 75 平方英寸，对于只有 20 个随机点的蒙特卡洛模拟来说，结果并不差。

现在，假设我们想要计算下图中由蝙蝠侠方程（Batman Equation）绘制的图形的面积：

我们从来没有学过一个方程可以求这样的面积。不管怎样，通过随机地放入随机点，蒙特卡洛模拟可以相当容易地为该面积提供一个近似值。

蒙特卡洛模拟不只用于估算复杂形状的面积。通过生成大量随机数字，它还可用于建模非常复杂的过程。实际上，蒙特卡洛模拟还可以预测天气，或者评估选举获胜的概率。

理解 MCMC 方法的第二个要素是马尔科夫链（Markov chains）。马尔科夫链由存在概率相关性的事件的序列构成。每个事件源于一个结果集合，根据一个固定的概率集合，每个结果决定了下一个将出现的结果。

马尔科夫链的一个重要特征是「无记忆性」：可能需要用于预测下一个时间的一切都已经包含在当前的状态中，从事件的历史中得不到任何新信息。例如 Chutes and Ladders 这个游戏就展示了这种无记忆性，或者说马尔科夫性，但在现实世界中很少事物是这种性质的。尽管如此，马尔科夫链也是理解现实世界的强大工具。

在十九世纪，人们观察到钟形曲线在自然中是一种很常见的模式。（我们注意到，例如，人类的身高服从钟形曲线分布。）Galton Boards 曾通过将弹珠坠落并通过布满木钉的板模拟了重复随机事件的平均值，在弹珠的最终数量分布中重现了钟形曲线：

俄罗斯数学家和神学家 Pavel Nekrasov 认为钟形曲线，或者更一般的说，大数规律只不过是小孩子的游戏和普通的谜题中的伪假象，其中每个事件之间都是完全独立的。他认为现实世界中的互相依赖的事件，例如人类行为，并不遵循漂亮的数学模式或分布。

Andrey Markov（马尔科夫链正是以他的名字命名）试图证明非独立的事件可能也遵循特定的模式。他的其中一个最著名的例子是从一份俄罗斯诗歌作品中数出几千个两字符对（two-character pairs）。他使用这些两字符对计算了每个字符的条件概率。即，给定一个确定的上述字母或空白，关于下一个字母将是 A、T 或者空白等，存在一个确定的概率。通过这些概率，Markov 可以模拟一个任意的长字符序列。这就是马尔科夫链。虽然早先的几个字符很大程度上依赖于初始字符的选择，Markov 表明在长字符序列中，字符的分布会出现特定的模式。因此，即使是互相依赖的事件，如果服从固定的概率分布，将遵循平均水平的模式。

举一个更有意义的例子，假设你住在一个有 5 个房间的房子里，里面有一个卧室、浴室、客厅、厨房、饭厅。然后我们收集一些数据，假定只需要当前你所处的房间和相应的时间就可以预测下一个你所处的房间的概率。例如，如果你在厨房，你有 30% 的概率会留在厨房，有 30% 的概率会走到饭厅，有 20% 的概率会走到客厅，有 10% 的概率会走到浴室，以及有 10% 的概率会走到卧室。使用每个房间的概率集合，我们可以构建一个关于你接下来要去的房间的预测链。

如果想预测一个人处于厨房之后所在的房间，基于几个状态而做出预测可能有效。但由于我们的预测仅仅基于一个人在房子中的单次观察，可以合理地认为预测结果是不够好的。例如，如果一个人从卧室走到浴室，相比从厨房走到浴室的情况，他更可能会返回原来的房间。因此，马尔科夫链并不真正适用于现实世界。

然而，通过迭代运行马尔科夫链数千次，确实能给出关于你接下来可能所处的房间的长期预测。更重要的是，这个预测并不受这个人起始所处的房间的影响。对此可以直观地理解为：在模拟和描述长期过程（或普遍情况）一个人所处房间的概率时，时间因素是不重要的。因此，如果我们理解了控制行为的概率，就可以使用马尔科夫链计算变化的长期趋势。

希望通过介绍一些蒙特卡洛模拟和马尔科夫链，可以使你对 MCMC 方法的零数学解释有更直观的理解。

回到原来的问题，即评估平均身高的后验分布：

这个平均身高的后验分布的实例没有基于真实数据。

我们知道后验分布在某种程度上处于先验分布和可能性分布的范围内，但无论如何都无法直接计算。使用 MCMC 方法，我们可以有效地从后验分布中提取样本，然后计算统计特征，例如提取样本的平均值。

首先，MCMC 方法选择一个随机参数值。模拟过程中会持续生成随机的值（即蒙特卡洛部分），但服从某些能生成更好参数值的规则。即对于一对参数值，可以通过给定先验信度计算每个值解释数据的有效性，从而确定哪个值更好。我们会将更好的参数值以及由这个值的解释数据有效性决定的特定概率添加到参数值的链中（即马尔科夫链部分）。

为了可视化地解释上述过程，首先强调一下，一个分布的特定值的高度代表的是观察到该值的概率。因此，参数值（x 轴）对应的概率（y 轴）可能或高或低。对于单个参数，MCMC 方法会从随机在 x 轴上采样开始。

红点表征随机参数采样。

由于随机采样服从固定的概率，它们倾向于经过一段时间后收敛于参数的高概率区域：

蓝点表示当采样收敛之后，经过任意时间的随机采样。注意：垂直堆叠这些点仅仅是为了说明目的。

收敛出现之后，MCMC 采样会得到作为后验分布样本的一系列点。用这些点画直方图，然后你可以计算任何感兴趣的统计特征：

通过 MCMC 模拟生成的样本集合计算的任何统计特征，都是对真实后验分布的统计特征的最佳近似。

MCMC 方法也可以用于评估多于一个参数的后验分布（例如，人类身高和体重）。对于 n 个参数，在 n 维空间中存在高概率的区域，其中特定的参数值集合可以更有效地解释数据。因此，我认为 MCMC 方法的本质，就是在一个概率空间中进行随机采样以近似后验分布。

原文链接： https://towardsdatascience/a-zero-math-introduction-to-markov-chain-monte-carlo-methods-dcba889e0c50

机器之心推出「 Synced Machine Intelligence Awards 」2017，希望通过四大奖项记录这一年人工智能的发展与进步，传递行业启示性价值。

有历史学家考证，中国历代的平均寿命如下：

古代数据都是根据史料和存留的尸骨测量得到，有些朝代具有特殊性。秦汉时期寿命显著增加的原因是战争相对较少，生产力得到提高，并且医学取得了很大的进步。

隋唐虽然是中国古代的第一盛世，但是根据数据来看却没有达到汉代的寿命水平，虽然唐的经济发展迅猛，生活水平提高，生产力医学等各个方面均取得无与伦比的成就，但是可能是因为盛世时间偏短，平均下来仍旧低于汉代。

元代又经历了一次断崖式的下降，主要是文化受到冲击，生产活动废止，战乱频繁，大量农田破坏，科学裹足不前，导致寿命急剧下降。

明代基本恢复元气，农作物的引进可以养活大量人口。但是在清时，鸦片战争以及入侵，导致又一次的断崖式下降。

民国的平均寿命在35岁左右，也是由于战争等原因导致。

虽然样本可能不够详实，但是从平均寿命数据也是能一窥各个朝代的兴衰。

统计过程控制-Statistical Process Control(SPC)实战篇

SPC在几十年的应用过程中，有褒有贬，至于它的效果，收益者越用越精，越用越有效，越能给企业带来更多的经济与管理效应，可也有很多企业应用SPC遇到非常多的问题，无论如何还是再次介绍SPC打开方式，后续还会专项介绍。

介绍目录如下：

1.质量管理中的统计技术

2.产品质量的变异与过程控制

3.过程能力分析

4.控制图概论与原理

5.控制图的种类

6.控制图的观察分析

1.质量管理中的统计技术

质量管理发展的阶段

质量管理体系对统计技术的要求

质量管理常用的统计技术

SPC（统计过程控制）的发展

SPC与SQC的差别

质量管理常用的统计分析技术

SPC与SQC的差别

2.产品质量的变异与过程控制

影响产品质量波动的原因有哪些呢?

影响产品质量波动的原因:

变异（变差，波动，Variation）的概念

–产品/过程的实际指标在规定值附近的变化情况

引起变异的原因, 通常有两种：

–普通原因

–特殊原因

引起变异的原因—普通原因和特殊原因–普通原因（Common Cause）：又称机遇原因（Chance Cause），偶然原因，不可避免原因，非人为原因等。–此种原因所引起的变异（波动）称为正常波动（Natural Variations）；

引起变异的原因—普通原因和特殊原因–特殊原因(Special Cause)：又称非机遇原因（Assignable Cause），系统原因，可避免原因，人为原因等。–此种原因所引起的变异（波动）称为异常波动（Assignable Variations）

现场工程师/主管/经理的两种任务

正常与异常波动为生产/作业经理区分了两种任务：

–首先是确保生产过程中只有正常波动, 从而操作处于控制之下。

–其次当然是查出并消除异常波动以使工序处于控制之下。

过程控制和过程能力

统计受控的概念

–统计受控（统计稳定、过程稳定的、过程受控的)

–统计非受控（统计不稳定、过程不稳定的、过程不受控的）

技术受控的概念–技术受控（产品都是合格的）–技术非受控（产品不都是合格的）

过程控制基本概念

过程控制系统的目的是对影响过程的原因采取经济合理的措施，也就是说：对“不需控制时而采取了措施（过渡调整和擅自改变）”和“需要控制时而未采取措施（控制不足）”两种状况进行平衡（综合考虑）。必须在变差的两种原因的关系下处理好这些风险。

过程在统计控制下运行（通常称为：受控状态和稳定状态）指的是：仅存在造成变差的普通原因。这样，过程控制系统的一个作用是当出现变差的特殊原因时提供统计信号，并且当不出现特殊原因时避免提供错误信息，从而对这些特殊原因采取适当的措施（或是消除它们，或是永久地保留它们）。

预防还是容忍?

3.过程能力分析

来普及一下统计学基本概念：

正态分布

如数据在±σ內, 平均可接受之百份比约为68%

如大多数数据是在±2σ內, 其可接受之百份比 95.44%

如大多数数据是在±3σ內, 其可接受之百份比99.73%

详细列表如下（部分）

过程（工序）能力分析

制程能力指数Cp及Cpk

Cpk 与对应的图形

中心不偏移时中心不偏移时

子（1）

制程能力指数处置建议

制程能力等级判断及处置建议－P%（P值）

制程能力指数Cp与制程不良率P（ppm）对照表

标准差σ与ppm制品质水准对照表

SPC的导入流程

4.控制图概论与原理

控制图的原理

控制图是以正态分布和假设检验为基础，对样本的品质特性进行监控的图表. 换句话说，只要群体符合正态分布，从群体中抽样时，每1000次中约有3次机会超出范围。我们认为，此三次是因为偶然原因跑出界限，在实际中属小概率事件，发生的可能性极小。

控制图的两类风险

对于仅仅存在偶然因素的情况下, 由于点子越出控制界限外而判断过程发生变化的错误, 即将正常判断为异常的错误是可能发生的. 这种错误称为第一种错误. ——“弃真”的风险

当过程具有某种非偶然因素影响, 致使过程发生程度不同的变化. 但由于此变化相应的一些点子落在控制界限内, 从而有可能发生判断过程未发生变化的错误, 这种错误称为第二种错误.——“取伪”的风险

控制图的作用

使用控制图的基本步骤

控制图的种类

控制图的种类和选择

计量值／计数值管制图公式汇总

Xbar–R管制图（平均值与全距）

计量值管制图常用之系数表

常态分配统计量抽样分配常数表

6.控制图的观察分析

控制读判读方法

SPC应用之困难

1. 少量多样之生产型态，不胜管制。 ---XT 图

2. 管制计划不实际，无法落实。

3. 使用SPC前未作充分准备。

例如：制程及管制特性之确定，决定量测方法，数

据如何收集等。

4. 欠缺统计技术。

5. 统计计算太过繁琐费时。

6. 量测数据之有效数字位数未标准化。

7. 管理阶层不支持。

SPC能解决什么问题呢?

1.经济性：有效的抽样管制，不用全数检验，不良率，得以控制成本。使制程稳定，能掌握品质、成本与交期。

2.预警性：制程的异常趋势可实施对策，预防整批不良，以减少浪费。

3.分辨特殊原因：作为局部问题对策或管理阶层系统改进之参考。

4.善用机器设备：估计机器能力，可妥善安排适当机器生产适当零件。

5.改善的评估：制程能力可作为改善前后比较之指针。

参考文献：

1.QS9000:SPC统记过程控制

2.管制图:房克或台弯品质学会。

3.北京jeep.SPC统计工序控制的原理及应用。

4.ISO9000成功操作手册(卷宗),张公绪(香港)国际ISO9000交流会，北京中亚波质量管理研究中心，1998.

上次给大家分享了《2017年最全的excel函数大全14—统计函数（4）》，这次分享给大家统计函数（5）。

LINEST 函数

描述

LINEST函数可通过使用最小二乘法计算与现有数据最佳拟合的直线，来计算某直线的统计值，然后返回描述此直线的数组。 也可以将LINEST与其他函数结合使用来计算未知参数中其他类型的线性模型的统计值，包括多项式、对数、指数和幂级数。 因为此函数返回数值数组，所以它必须以数组公式的形式输入。 请按照本文中的案例使用此函数。

直线的公式为：

y = mx + b

- 或 -

y = m1x1 + m2x2 + ... + b

如果有多个区域的 x 值，其中因变量 y 值是自变量 x 值的函数。 m 值是与每个 x 值相对应的系数，b 为常量。 注意，y、x 和 m 可以是向量。LINEST函数返回的数组为 {mn,mn-1,...,m1,b}。LINEST函数还可返回附加回归统计值。

用法

LINEST(known_y's, [known_x's], [const], [stats])

LINEST 函数用法具有下列参数：

用法

Known_y's必需。 关系表达式 y = mx + b 中已知的 y 值集合。如果known_y's对应的单元格区域在单独一列中，则known_x's的每一列被视为一个独立的变量。如果known_y's对应的单元格区域在单独一行中，则known_x's的每一行被视为一个独立的变量。Known_x's可选。 关系表达式 y = mx + b 中已知的 x 值集合。known_x's对应的单元格区域可以包含一组或多组变量。 如果仅使用一个变量，那么只要known_x's和known_y's具有相同的维数，则它们可以是任何形状的区域。 如果用到多个变量，则known_y's必须为向量（即必须为一行或一列）。如果省略known_x's，则假设该数组为 {1,2,3,...}，其大小与known_y's相同。const可选。 一个逻辑值，用于指定是否将常量 b 强制设为 0。如果const为 TRUE 或省略，b 将按正常计算。如果const为 FALSE，b 将被设为 0，并同时调整 m 值使 y = mx。stats可选。 一个逻辑值，用于指定是否返回附加回归统计值。如果stats为 TRUE，则LINEST函数返回附加回归统计值，这时返回的数组为{mn,mn-1,...,m1,b;sen,sen-1,...,se1,seb;r2,sey;F,df;ssreg,ssresid}。如果stats为 FALSE 或省略，则函数LINEST只返回系数 m 和常量 b。

附加回归统计值如下：

下面的图示显示了附加回归统计值返回的顺序。

备注

可以使用斜率和 y 轴截距描述任何直线：

斜率 (m)：通常记为 m，如果需要计算斜率，则选取直线上的两点，(x1,y1) 和 (x2,y2)；斜率等于 (y2 - y1)/(x2 - x1)。

Y 轴截距 (b)：通常记为 b，直线的 y 轴的截距为直线通过 y 轴时与 y 轴交点的数值。

直线的公式为 y = mx + b。 如果知道了 m 和 b 的值，将 y 或 x 的值代入公式就可计算出直线上的任意一点。 还可以使用TREND函数。

当只有一个自变量 x 时，可直接利用下面公式得到斜率和 y 轴截距值：

斜率：=INDEX(LINEST(known_y's,known_x's),1)

Y 轴截距：=INDEX(LINEST(known_y's,known_x's),2)

数据的离散程度决定了LINEST函数计算的直线的精确度。 数据越接近线性，LINEST模型就越精确。LINEST函数使用最小二乘法来判定数据的最佳拟合。 当只有一个自变量 x 时，m 和 b 是根据下面的公式计算出的：

其中，x 和 y 是样本平均值；即，x =AVERAGE(known x's)且y = AVERAGE(known_y's)。

直线和曲线拟合函数LINEST和LOGEST可用来计算与给定数据拟合程度最高的直线或指数曲线， 但需要判断两者中哪一个与数据拟合程度最高。 可以用函数TREND(known_y's,known_x's)来计算直线，或用函数GROWTH(known_y's, known_x's)来计算指数曲线。 这些不带new_x's参数的函数可在实际数据点上根据直线或曲线来返回 y 预测值的数组， 然后可以将预测值与实际值进行比较。 可能需要用图表方式来直观地比较二者。回归分析时，Excel 会计算每一点的 y 的估计值和实际值的平方差。 这些平方差之和称为残差平方和 (ssresid)。 然后 Excel 会计算总平方和 (sstotal)。 当参数const= TRUE 或被省略时，总平方和是 y 的实际值和平均值的平方差之和。 当参数const= FALSE 时，总平方和是 y 的实际值的平方和（不需要从每个 y 值中减去平均值）。 回归平方和 (ssreg) 可通过公式 ssreg = sstotal - ssresid 计算出来。 残差平方和与总平方和的比值越小，判定系数 r2 的值就越大，r2 是用来判断从回归分析求得的公式是否足以描述变量之间关系的指示器。 r2 = ssreg/sstotal。在某些情况下，一个或多个 X 列可能没有出现在其他 X 列中的附加预测值（假设 Y's 和 X's 位于列中）。 换句话说，删除一个或多个 X 列可能会得到同样精度的 y 预测值。 在这种情况下，应从回归模型中省略这些多余的 X 列。 这种现象被称为“共线”，因为任何多余的 X 列都可被表示为多个非多余 X 列的和。LINEST函数会检查是否存在共线，并在识别出多余的 X 列之后从回归模型中删除所有这些列。 由于包含 0 系数以及 0 se 数值，因此已删除的 X 列能在LINEST输出中被识别出来。 如果一个或多个多余的列被删除，则将影响 df，原因是 df 取决于实际用于预测目的的 X 列的数量。 有关计算 df 的详细信息，请参阅案例 4。 如果由于删除多余的 X 列而更改了 df，则也会影响 sey 和 F 的值。 实际上，出现共线的情况应该相对很少。 但是，如果某些 X 列仅包含 0 和 1 数值作为实验中的对象是否属于特定组成员的指示器，则很可能引起共线。 如果const= TRUE 或被省略，则LINEST函数可有效地插入所有 1 数值的其他 X 列以便为截距建立模型。 如果在一列中，1 对应于每个男性对象，0 对应于女性对象；而在另一列中，1 对应于每个女性对象，0 对应于男性对象，那么后一列就是多余的，因为其中的项可通过从所有 1 值的另一列（通过LINEST函数添加）中减去“男性指示器”列中的项来获得。在没有 X 列因共线而被从模型中删除时，请用以下方法计算 df 的值：如果known_x’s有k列且const= TRUE 或被省略，那么 df = n – k – 1。 如果const= FALSE，那么 df = n - k。 在这两种情况下，每次由于共线而删除一个 X 列都会使 df 的值加 1。对于返回结果为数组的公式，必须以数组公式的形式输入。

注意:在 Excel Online 中，不能创建数组公式。

当输入一个数组常量（如known_x's）作为参数时，请使用逗号分隔同一行中的各值，使用分号分隔各行。 分隔符可能会因区域设置的不同而有所不同。注意，如果 y 的回归分析预测值超出了用来计算公式的 y 值的范围，它们可能是无效的。LINEST函数中使用的下层算法与SLOPE和INTERCEPT函数中使用的下层算法不同。 当数据未定且共线时，这些算法之间的差异会导致不同的结果。 例如，如果参数known_y's的数据点为 0，参数known_x's的数据点为 1：LINEST会返回值 0。LINEST函数的算法用来返回共线数据的合理结果，在这种情况下至少可找到一个答案。SLOPE和INTERCEPT返回 错误 #p/0!。SLOPE和INTERCEPT函数的算法只用来查找一个答案，在这种情况下可能有多个答案。除了使用LOGEST计算其他回归分析类型的统计值外，还可以使用LINEST计算其他回归分析类型的范围，方法是将 x 和 y 变量的函数作为LINEST的 x 和 y 系列输入。 例如，下面的公式：

=LINEST(yvalues, xvalues^COLUMN($A:$C))

将在您使用 y 值的单个列和 x 值的单个列计算下面的方程式的近似立方（多项式次数 3）值时运行：

y = m1*x + m2*x^2 + m3*x^3 + b

可以调整此公式以计算其他类型的回归，但是在某些情况下，需要调整输出值和其他统计值。

LINEST 函数返回的 F 检验值与FTEST 函数返回的 F 检验值不同。 LINEST 返回 F 统计值，而 FTEST 返回概率。

案例

案例 1 - 斜率和 Y 轴截距

案例 2 - 简单线性回归

案例 3 - 多重线性回归

案例 4 - 使用 F 和 r2 统计值

在上例中，判定系数 r2 为 0.99675（函数LINEST的输出单元格 A17 中的值），表明自变量与销售价格之间存在很强的相关性。 可以通过 F 统计值来确定具有如此高的 r2 值的结果偶然发生的可能性。

假设事实上在变量间不存在相关性，但选用 11 个办公楼作为小样本进行统计分析却导致很强的相关性。 术语“Alpha”表示得出这样的相关性结论错误的概率。

LINEST函数输出中的 F 和 df 值可被用于评估偶然出现较高 F 值的可能性。 F 可与发布的 F 分布表中的值进行比较，或者 Excel 中的FDIST函数可被用于计算偶然出现较高 F 值的概率。 适当的 F 分布具有 v1 和 v2 自由度。 如果 n 是数据点的个数且 const = TRUE 或被省略，那么 v1 = n – df – 1 且 v2 = df。 （如果 const = FALSE，那么 v1 = n – df 且 v2 = df。）用法为FDIST(F,v1,v2) 的FDIST函数将返回偶然出现较高 F 值的概率。 在本例中，df = 6（单元格 B18）且 F = 459.753674（单元格 A18）。

假设 Alpha 值为 0.05，v1 = 11 – 6 – 1 = 4 且 v2 = 6，那么 F 的临界值为 4.53。 由于 F = 459.753674 远大于 4.53，所以偶然出现高 F 值的可能性非常低。 （因为，在 Alpha = 0.05 的情况下，当 F 超过临界值 4.53 时，known_y’s和known_x’s之间没有关系这一假设不成立。）使用 Excel 中的FDIST函数可获得偶然出现高 F 值的概率。 例如，FDIST(459.753674, 4, 6) = 1.37E-7，是一个极小的概率。 于是可以断定，无论通过在表中查找 F 的临界值，还是使用FDIST函数，回归公式都可用于预测该区域中的办公楼的评估价值。 请注意，使用在上一段中计算出的 v1 和 v2 的正确值是非常关键的。

案例 5 - 计算 t 统计值

另一个假设测试可以判定每个斜率系数是否可以用来估算案例 3中的办公楼的评估价值。 例如，要测试年龄系数的统计显著性水平，以 13.268（单元格 A15 中年龄系数的估计标准误差）除 -234.24（年龄斜率系数）。 下面是 t 观察值：

t = m4 ÷ se4 = -234.24 ÷ 13.268 = -17.7

如果 t 的绝对值足够大，那么可以断定斜率系数可用来估算案例 3中的办公楼的评估价值。 下表显示了 4 个 t 观察值的绝对值。

如果查阅统计手册里的表，将会发现：双尾、自由度为 6、Alpha = 0.05 的 t 临界值为 2.447。 该临界值还可使用 Excel 中的TINV函数计算。TINV(0.05,6) = 2.447。 既然 t 的绝对值为 17.7，大于 2.447，则办公楼的使用年数对于估算办公楼的评估价值来说是一个重要变量。 用同样方法，可以测试其他每个自变量的统计显著性水平。 以下是每个自变量的 t 观察值。

这些值的绝对值都大于 2.447；因此，回归公式的所有变量都可用来估算此区域内的办公楼的评估价值。

LOGEST 函数

描述

在回归分析中，计算最符合数据的指数回归拟合曲线，并返回描述该曲线的数值数组。 因为此函数返回数值数组，所以它必须以数组公式的形式输入。

曲线的公式为：

y = b*m^x

或者

y = (b*(m1^x1)*(m2^x2)*_)

如果有多个 x 值，其中因变量 y 值是自变量 x 值的函数。 m 值是各指数 x 的底，而 b 值是常量值。 注意，y、x 和 m 可以是向量。 LOGEST 函数返回的数组为 {mn,mn-1,...,m1,b}。

用法

LOGEST(known_y's, [known_x's], [const], [stats])

LOGEST 函数用法具有以下参数：

Known_y's必需。 关系表达式 y = b*m^x 中已知的 y 值集合。如果数组 known_y's 在单独一列中，则 known_x's 的每一列被视为一个独立的变量。如果数组 known_y's 在单独一行中，则 known_x's 的每一行被视为一个独立的变量。Known_x's可选。 关系表达式 y=b*m^x 中已知的 x 值集合，为可选参数。数组 known_x's 可以包含一组或多组变量。 如果仅使用一个变量，那么只要 known_x's 和 known_y's 具有相同的维数，则它们可以是任何形状的区域。 如果使用多个变量，则 known_y's 必须是向量（即具有一列高度或一行宽度的单元格区域）。如果省略 known_x's，则假设该数组为 {1,2,3,...}，其大小与 known_y's 相同。Const可选。 一个逻辑值，用于指定是否将常量 b 强制设为 1。如果 const 为 TRUE 或省略，b 将按正常计算。如果 const 为 FALSE，则常量 b 将设为 1，而 m 的值满足公式 y=m＾x。Stats可选。 一个逻辑值，用于指定是否返回附加回归统计值。如果 stats 为 TRUE，函数 LOGEST 将返回附加的回归统计值，因此返回的数组为 {mn,mn-1,...,m1,b;sen,sen-1,...,se1,seb;r 2,sey; F,df;ssreg,ssresid}。如果 stats 为 FALSE 或省略，则函数 LOGEST 只返回系数 m 和常量 b。

有关附加的回归统计值的详细信息，请参阅LINEST 函数。

备注

由数据绘出的图越近似于指数曲线，则计算出来的曲线就越符合原来给定的数据。 正如 LINEST 函数一样，LOGEST 函数返回一组描述数值间相互关系的数值数组，但 LINEST 函数是用直线来拟合数据，而 LOGEST 函数则以指数曲线来拟合数据。 有关详细信息，请参阅 LINEST 函数。当仅有一个自变量 x 时，可直接用下面的公式计算出 y 轴截距 (b) 的值：

Y 轴截距 (b)：INDEX(LOGEST(known_y's,known_x's),2)

可用 y=b*m＾x 公式来预测 y 的值，但是 Microsoft Excel 另外提供了可以预测因变量 y 值的 GROWTH 函数。 有关详细信息，请参阅GROWTH 函数。

对于返回结果为数组的公式，必须以数组公式的形式输入。

注意:在 Excel Online 中，不能创建数组公式。

当输入一个数组常量（如 known_x's）作为参数时，请使用逗号分隔同一行中的各值，使用分号分隔各行。 分隔符可能会因区域设置的不同而有所不同。应注意的一点是：如果由回归公式所预测的 y 值超出用来计算回归公式的 y 的取值区间，则该值可能无效。

案例

案例 1

案例 2...

中考数学解答题共有八道大题，其中技能部分占五道题，另一道应用题，一道探究题或方法迁移性问题，一道综合题.

一、实数代数式运算、方程不等式求解

（1）分式的化简与求值：

分式的运算分式的个数不超过三个，所以中考试题多以三个或两个分式为主，考察分式的通分，整式的因式分解，分式的约分等。通常的解题程序是：先把分子与分母能分解因式的进行因式分解，同时把小括号内的分式通分合并；再把除法转化为乘法运算，最后准确约分即可。

求值时改变了直接给出未知数的具体数字的模式，通常给出未知数的取值范围，首先要根据分式成立的意义确定什么数不能取，进而选择可行数代入求值。

（2）实数的运算

实数混合运算加减运算的次数不超过四次，因此中考试题中加减号的次数多以三个或四个为主，考察内容包括根式的化简，绝对值运算，整数指数幂的运算，特殊角三角函数值等。

通常的解题程序是：按加减把混合运算分成四个或五个小运算，第一步中把每个小运算的结果求出，再去括号进行实数的加减运算可直接得结果。

（3）解方程、解不等式

解方程（组）与解不等式（组）主要以解一元二次不等式，解二元一次方程组和解一元一次不等式组为主，考察等式与不等式的基本性质和消元降次的思想.它们的解题程序课本中都有标准的过程。

注意：解一元二次方程时可选择“公式法”，容易掌握和理解；解二元一次方程组时可选择“加减法”，可以提高速度；解一元一次不等式组时要关注数轴的准确画法与应用.

二、全等三角形证明与特殊四边形的判断与证明以及相关基本计算

几何题证明的难度不得超过证明定理的难度.因此，几何题多以直观判断图形的形状，判断图形间的关系，证明三角形全等和证明特殊四边形为主。

解决这类问题的基本程序是：先利用工具验证并直观判断图形的形状或关系，再寻找并证明两个三角形全等进而得到所要证明的问题，计算时多利用三角形的有关性质即可。

三、统计图表完善，样本估计总体状况计算问题

近几年中考中这部分知识解答题的考察，主要包括统计图表完善或制作，计算相关统计量并用统计量分析数据状况，利用统计和概率的思想用样本估计总体，计算简单事件的概率等。

解题的一般程序是：先从统计图表中获取相关信息，通过计算完善统计图表；再根据统计图表获取相关信息，通过计算得出样本的相关统计量或频率，运用统计和概率的思想判断并计算总体的有关问题；最后利用排列的方法计算简单随机事件的概率.

四、函数基本应用或基本技能问题

函数是中学数学的核心知识，也是中考数学命题的重心之一.近两年来看，解答题中增加了利用函数知识解决简单的实际问题，通过函数运算考察数形结合的思想与方法内容。

解题一般过程：设出所求函数的表达式，寻找满足函数的一到两组对应值或在函数图象上找到一到两点的坐标并代入表达式求解；再根据函数图象、实际意义判断自变量的取值范围或根据函数表达式计算有关问题；设出运动点的坐标结合图形面积公式根据题中数量关系列出方程（组）求解即可.

五、利用解直角三角形解决实际问题

近两年来，利用解直角三角形解决实际问题越来越得到重视。

解题一般过程：先从复杂的图形中找到或建立直角三角形，将实际问题数学化（实际数量值用数学符号表示），解直角三角形并把结果转化为实际需要解决的问题即可。

六、列方程、不等式、函数关系式解决实际问题

应用题是历年数学中招考试的核心之一，利用所学知识解决实际生活中的具体问题是一个人应用数学能力的体现，这也是学习数学的本质所在.从仅几年的考试情况来看，通过列方程（组）、列不等式（组）以及列函数关系式解决实际问题是不变的规律，一般都是通过解方程（组）、列不等式（组）以及分析函数关系确定方案设计、变化规律，进而计算如何费用最省、利润最大等.其题目中问题的变化加入了判断思维与语言描述等内容。

解决应用题常用的方法只有一种，就是把题目中包含的数字信息用简单的文字和数学符号表达出来；设出未知数代入简化后的式子中即可列出数量关系式；解相关数量关系式分析得出结果.

七、探究性问题

探究性问题的特点是在一个基本的平面图形内存在动点或动线变化，进而研究在变化过程中图形的特征变化及其对应下某线段（或角）的大小变化情况（或反之）。

解决探究性问题的一般程序是：第一步动手操，即在条件要求下演示图形变化，根据目标直观判断并确定动点动线的位置；第二步计算证明，即在第一步确定的图形下完成相关任务。

八、函数图象、平面图形在直角坐标系下综合问题

数学重在练习，在实战中总结出解题技巧和方法，数学最忌讳漫无目的的做题，有的时候做了几张卷子都在练习一种解题思路和方法，举一反三，一题多解，多解归一的方法是学习数学的最有效方法，在探索中，在体验中找到解题的突破点，不至于陷入题海无法自拔，还给自己增添了压力和负担。

　　假没检验分为双侧假设检验和单侧假设检验。双侧假设检验所针对的问题是指一些客体的指标过大和过小都不符合要求，或证明总体某个参数是否等于某个特定值。假设的基本设定方法是等号放在原假设，其基本形式为：原假设!"：!%!"，备择假设!#：!!!"。这里只谈单侧假设检验中假设的设定依据。

　　几种常见的假设检验

　　定义

　　假设检验是用来判断样本与样本，样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。其基本原理是先对总体的特征作出某种假设，然后通过抽样研究的统计推理，对此假设应该被拒绝还是接受作出推断。

　　基本原理

　　（1）先假设总体某项假设成立，计算其会导致什么结果产生。若导致不合理现象产生，则拒绝原先的假设。若并不导致不合理的现象产生，则不能拒绝原先假设，从而接受原先假设。

　　（2）它又不同于一般的反证法。所谓不合理现象产生，并非指形式逻辑上的绝对矛盾，而是基于小概率原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，若发生了，就是不合理的。至于怎样才算是“小概率”呢？通常可将概率不超过0.05的事件称为“小概率事件”，也可视具体情形而取0.1或0.01等。在假设检验中常记这个概率为α，称为显著性水平。而把原先设定的假设成为原假设，记作H0。把与H0相反的假设称为备择假设，它是原假设被拒绝时而应接受的假设，记作H1。

　　假设的形式

　　H0——原假设， H1——备择假设

　　双侧检验：H0:μ = μ0 ，H_1:\mu\ne\mu_0

　　单侧检验：H_0:\mu\ge\mu_0 ，H1:μ < μ0  或  H_0:\mu\le\mu_0， H1:μ > μ0 假设检验就是根据样本观察结果对原假设（H0）进行检验，接受H0，就否定H1；拒绝H0，就接受H1。

　　假设检验的种类

　　下面介绍几种常见的假设检验

　　1. T检验

　　亦称student t检验（Student's t test），主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。

　　目的：比较样本均数 所代表的未知总体均数μ和已知总体均数μ0。

　　计算公式：

　　t统计量：t=\frac{|\overline{X}-\mu_0|}{S_{\overline{X}}}=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}

　　自由度：v=n - 1

　　适用条件：

　　(1) 已知一个总体均数；

　　(2) 可得到一个样本均数及该样本标准误；

　　(3) 样本来自正态或近似正态总体。

　　T检验的步骤

　　1、建立虚无假设H0:μ1 = μ2，即先假定两个总体平均数之间没有显著差异；

　　2、计算统计量T值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法；

　　1）如果要评断一个总体中的小样本平均数与总体平均值之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为：

　　T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{S}{n-1}}

　　2）如果要评断两组样本平均数之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为：

　　T=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{\frac{\sum x_1^2+\sum x_2^2}{n_1+n_2-2}}\times\frac{n_1+n_2}{n_1\times n_2}}

　　3、根据自由度df=n-1，查T值表，找出规定的T理论值并进行比较。理论值差异的显著水平为0.01级或0.05级。不同自由度的显著水平理论值记为T(df)0.01和T(df)0.05

　　4、比较计算得到的t值和理论T值，推断发生的概率，依据下表给出的T值与差异显著性关系表作出判断。

　　T值与差异显著性关系表

　　T\x09 P值\x09 差异显著程度

　　T\ge T(df)0.01\x09P\le 0.01\x09 差异非常显著

　　T\ge T(df)0.05\x09P\le 0.05\x09 差异显著

　　T< T(df)0.05\x09P > 0.05\x09 差异不显著

　　5、根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。

　　T检验的应用领域：

　　T检验可用于比较药物治疗组与安慰剂治疗组病人的测量差别。

　　2. z检验（U检验）

　　Z检验是一般用于大样本(即样本容量大于30)平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。

　　第一步：建立虚无假设 H0:μ1 = μ2 ，即先假定两个平均数之间没有显著差异，

　　第二步：计算统计量Z值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法，

　　1、如果检验一个样本平均数（\bar{X}）与一个已知的总体平均数(μ0)的差异是否显著。其Z值计算公式为：

　　Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}

　　其中：

　　\bar{X}是检验样本的平均数；

　　μ0是已知总体的平均数；

　　S是样本的标准差；

　　n是样本容量。

　　2、如果检验来自两个的两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为：

　　Z=\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{\sqrt{\frac{S_1}{n_1}+\frac{S_2}{n_2}}}

　　其中：

　　\bar{X_1},\bar{X_2}是样本1，样本2的平均数；

　　S1,S2是样本1，样本2的标准差；

　　n1,n2是样本1，样本2的容量。

　　第三步：比较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据Z值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示：

　　Z值与P值关系

　　　　\left| Z \right|\x09 P值\x09 差异程度

　　\ge2.58\x09\le0.01\x09 非常显著

　　\ge1.96\x09\le0.05\x09 显著

　　<1.96\x09 >0.05\x09 不显著

　　第四步：根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。

　　3. F检验

　　4. 卡方检验

（本文内容由百度知道网友Balym90贡献）

统计需要处理数据，数据从何而来呢？

有时候数据很容易收集——比如一个班级学生的考试成绩，或者是一个企业所有职员的年龄身高。但有时候不又不太容易，比如国家统计局统计全国人口、气象预报局统计一年的降雨量等等，这个时候该怎么办呢？当需要统计的数量十分庞大时，很难决定该从何处着手收集数据。在实际工作中，如何有效地、正确地、省时省力地收集数据呢？这就是抽样设计要解决的问题。

抽样设计

从总体中抽取合适样本的方法，使得由样本到总体的推断是合理的，这一过程称为抽样设计，即对一个存在的测量总体，制定一种从中抽取测量样本的方法。

抽取样本方法必须满足两个条件：

独立性：从总体中抽取一个元素不影响其他任何元素的抽取概率。随机性：每一次选取，总体中的所有元素(抽样单位)都有相同的被选概率。

如何进行抽样设计

样本的作用是用它判定总体情况。为了确保得到正确结果，需要明智地选择样本。只有先认清总体的实质，以便让样本尽量具有代表性。

确定目标总体。首先要弄清楚目标总体是什么，才知道样本取自那里。这里的目标总体是指正在研究的、并且打算为其采集结果的群体，你所选择的目标总体在很大程度上取决于你的研究目的。目标总体要尽可能精确，这样能更为容易地得出尽可能代表总体的样本。确定抽样单位。一旦确定目标总体，就需要决定抽取哪一类对象，通常，要抽样的对象类型就是在确定目标总体时所描述的对象类型。确定抽样空间。假设有一张表，表中列出了目标总体范围内的所有抽样单位，并且每个抽样单位都有对应的名字或编号，这张表被称为抽样空间，我们需要从抽样空间中选取样本。

有时候不可能得出涵盖整个目标总体的抽样空间，选取的样本要做到客观反映目标总体也是很苦难的。

无偏样本和偏倚样本

无偏样本可以代表目标总体，一个无偏样本的分布形状与作为其来源总体的分布形状相似，如果我们知道样本的分布形状，就可以以合理程度的置信水平预测总体的分布形状。

无偏样本

偏倚样本无法代表目标总体，由于样本与总体的特性不相似，无法根据样本对总体做出判断。如果使用偏倚样本的分布形状预测总体的分布形状，最终会得出错误的结果。

偏倚样本

如何选择样本

我们已经知道如何进行抽样设计，假如已经确定了样本空间，又要如何选取实际样本，才能尽可能减少偏倚样本的发生呢？

简单随机抽样设计：就是使总体中所有抽样单元都有相等的概率被抽取到样本中去的一种抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签，或使用随机编号。分层随机抽样设计：如果总体包含一些不重叠的互斥部分(称为层)，这是由年龄、性别、种族或地理位置等因子引起的，如果这样的层存在，那么分层随机抽样设计从每一层抽取样本。这样获得的样本比简单随机抽样获得的样本更具有代表性，使推断更有效。若每一层的随机样本容量在样本中所占的比例与该层元素在总体中所占的比例相等，称为比例分层随机抽样，否则，称为非比例分层随机抽样。系统随机抽样设计：如果抽样框架非常大，通常采用系统随机抽样。在系统随机抽样中，抽样框架中每隔k个元素都被选为样本元素，而第一个被抽取元素(称为初始元素)是从前k个元素中随机选择的。如果在抽样框架中存在明显的周期性或循环，应避免使用系统随机抽样。整群随机抽样设计：如果一个总体很大且非常分散，那么整群随机抽样的抽样成本较低。将总体元素划分为若干互斥部分(称为群)，每部分尽可能是异质的。整群随机抽样可以分为：单阶段整群随机抽样，两阶段整群随机抽样和多阶段整群随机抽样，区别是两阶段整群随机抽样是对单阶段整群随机抽样抽出的群再进行整群随机抽样，以此类推。例如，对国家进行民意调查，每一个省是异质的，可以看做抽样中的一个群，若进行单阶段整群随机抽样，则随机抽取若干个省，省内的每一个人都作为样本，若是两阶段整群随机抽样，则在抽取的省中再随机抽取若干个市，以此类推。

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统计表主要以列的形式展示分析结果，具有避免冗繁文字叙述，便于阅读、分析比较等优点。 在制作统计表时，除了要求内容简明，重点突出，能正确表达统计结果，便于分析比较外， 在标题（Caption）、标目（Heading）、分割线（Lines）、表格主体的数字（Data）、脚注（Footnotes）及其位置（Placement）和正文引述（Describe）也有一定的要求。 统计图在绘制过程中对其结构组成［包括标题（Legend）、轴标（Axis Label）、数轴（Axis）、图例（Symbol and Key to Symbols）、误差棒（error bar）］、和正文引述（Describe）有一定的要求，以下就这几部分进行阐述，同时列举四种常用统计图［直条图（Bar Graph），频率直方图（Frequency Histogram），XY散点图（X,Y Scatterplot），XY线图（X,Y Line Graph）］的用法

下面两个示例图是典型的直条图和线图，红色字体标记了各组成部分。 图表要告诉读者尽可能多的信息，比如： （1）图表反映的结果，包括扼要的统计描述； （2）如果可以应注明实验的研究对象； （3）得出该结果的条件背景，如：采用的处理方法或显示的相互关系等； （4）实验地点（仅室外实验时需要）；（5）需要详细的图解对图表反映的结果做出解释（许多杂志都强调图表需成为独立的部分，即读者可以不阅读正文章节而通过检视图表本身而理解论文结果，这一点经常被许多中国作者忽视）；（6）如果可以应注明培养或处理的参数或条件(温度、媒介等)；（7）实验的样本大小和统计检验结果； （8）不要在两坐标轴标签之间用“versus”对其简单重述。 

一、 结构组成1.  标题（Legend）标题一般位于表的下方。Figure可简写为“Fig.”，按照图在文章中出现的顺序用阿拉伯数字依次排列（如Fig.1，Fig.2……）。对于复合图，往往多个图公用一个标题，但每个图都必须明确标明大写字母（A，B，C等），在正文中叙述时可表明为“Fig. 1A”。复合图的标题也必须区分出每一个图并用字母标出各自反映的数据信息。 例如：下图 2.  轴标（Axis Label）对于含有横轴、纵轴的统计图，两轴应有相应的轴标，同时注明单位。 3.  数轴（Number axis）数轴刻度应等距或具有一定规律性（如对数尺度），并标明数值。横轴刻度自左至右，纵轴刻度自下而上，数值一律由小到大。一般纵轴刻度必须从“0”点开始（对数图、点图等除外）。4.  图标（Symbol and Key to Symbols）图中用不同线条、图像或色调代表不同事物时，应该用图标说明，图标应该清晰易分辨。

二 、正文引述（Describe）论文中每一个图都必须在正文中提及，并对统计图所反映的事物关系或趋势做出解释或得出结论。例如：Germination rates were significantly higher after 24h in running water than in controls （Fig. 4）三、常用的统计图下面列举四种常用统计图【直条图（Bar Graph），频率直方图（Frequency Histogram），XY散点图（X,Y Scatterplot），XY线图（X,Y Line Graph）】的用法。

1.  直条图（Bar Graph）直条图是利用直条的长短来代表分类资料各组别的数值，表示它们之间的对比关系。可分为单式和复式两种。  单式直条图：（1）标题（Figure 1）位于图下方。标题含有丰富的信息量，包括处理方法、统计学检验及显著水平的解释等。 （2）Y轴标表示测量值（Stem Length），标注单位（mm）；X轴为不同的处理组。 （3）各直条图均标记了误差范围，并在标题中做出解释。 （4）在误差条上面用横线表示处理组间的统计学差异，并在标题中给予说明。复式直条图（1）横轴为基线，表示各个类别，纵轴表示其检测数值，刻度从0开始。 （2）同一类型中两个亚组用不同颜色表示，并有图例说明，表示不同年份。 （3）各直条宽度一致，各类型之间间隙相等。（4）如以上单式直条图，标记了误差范围，并在标题中做出统计学解释。

2.  频率直方图（Frequency Histogram）直方图是以不同直方形面积代表数量，各直方形面积与各组的数量多少呈正比。用于表达连续性资料的频数分布。Y轴可以是绝对数（如计量）也可以是相对数（如百分比）。例如：下图 从图中我们看到：（1） 直方图的Y轴用于表示频数（一般用“%”表示），纵轴有主刻度和次刻度，刻度从0开始 （2） X轴用于表示检测变量【体重（Weight）】的测量值，将其分割成多个组以显示不同体重范围的频数分布情况。要注意每组间距应该合适，避免过宽或过窄 （3）直方图各直条间不留间隙，各直条间可用直线间隔，也可不用直线形成一个多边形图（4）从标题中可以看到，该图信息来源于“表1”，有时结合统计表可以弥补统计图丢失精确数据的缺点 

3.  XY散点图（X,Y Scatterplot）散点图用于表示两种事物的相关性和趋势。根据点的散布情况推测两事物有无相关。例如：下图 从图中我们看到：（1）图中含有两个变量，一般X轴表示自变量，Y轴表示因变量。有时候并没有明确指出哪个是自变量，哪个是因变量，仅仅要表达两个变量间的相关关系，这时候哪个变量值设置在X轴/Y轴没区别。 （2） 以确保更能准确地绘制点，两轴刻度包含主刻度和次刻度。各轴刻度不一定从0开始，并且数值的范围应该包含所有点。（3） 根据点的分布情况，推测两变量间是否相关。如果数据通过统计学分析证实变量间存在关系，如图中可以绘制出回归直线，并可计算出回归方程等信息。 

4.  XY线图（X,Y Line Graph）线图适用于连续性资料，用于表明一事物随另一事物而变动的情况。例1，如图：（1） 横轴表示连续变量，纵轴表示频数，纵轴刻度从0开始。 （2） 按照时间先后及其频数确定并绘制各个点，再用线段连接起来。（3） 绘制不同组别的点使用不同的图例，并有图例说明。  例2，如图：  （1） 每一组用不同的图例表示，图例清晰便于辨认。 （2） 每个点表示均数，并且在标题中注明，同时在图中显示每个点的误差范围。（3） 同例1，同一组中的各个点用线段按顺序连接起来，以表示随时间的变化趋势。