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数学思维方法训练

浅谈小学数学教学中学生思维能力的培养 0

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Qamar

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在目前的小学数学教学中,很多教师发现学生对数学的学习缺乏兴趣、数学的课堂教学效果不尽人意,究其原因,有很大一部分可以归咎于教师在小学教学教学中一味追求分数,而忽视了在数学学习过程中培养小学生的思维能力。在数学教学过程中,让小学生学会如何去思考,如何发散思维,提高小学生思维能力是所有数学教师必须重视的一个问题。

小学数学教学的一个重要教学任务就是让小学生在数学学习过程中,逐渐形成自主学习、独立思考的能力,不断提升思维能力,促进学生全面、可持续的发展。教师在小学数学的教学过程中要把握和遵循小学生对数学知识的学习态度与知识接受规律,充分结合小学数学的学科特点,巧妙地将数学知识与学生的日常生活联系起来,将抽象的数学概念转化为形象和具体的知识,把日常生活中遇到的实际问题与相对应的数学模型结合起来,从而让小学生对数学的学习有一个全新的认识,激起小学生更加浓烈的数学学习欲望,不断提升小学生的思维逻辑能力。

一、设置问题,加强引导

众所周知,在解决的问题的过程中能够促使人进行思考,不断发散思维,小学数学的学习过程从根本来说就是一个不断进行思考和探究的思维活动。因此,在小学数学课堂上,教师要有意识的引导小学生在学习的过程中能够发现问题与提出问题,然后带领小学生学会如何分析问题和解决问题,这就是教师在小学数学教学中发展和培养小学生思维能力的一个重要过程。如果要想真正提高小学数学的教学质量,那么教师就必须加强对小学生的思维能力给予及时和适当的引导。一般来说,小学数学知识的展开都是通过提出问题,换句话说,只有在小学数学教学过程中恰当的运用问题教学,才能有效的发展和培养小学生的思维能力。教师要根据小学生的现有的知识储备,结合所学的数学知识,要有意识、有目的的设置一些数学问题,引导小学生对这些问题进行分析和思考,让小学生尝试用归纳演绎、抽象概括、比较对照和综合分析的数学方法去解决这些问题,在这个过程中,不仅可以使小学生对所学的数学知识的掌握更加灵活和牢固,也能激起学生的好奇心,能够将这些数学知识点的来龙去脉和前因后果都屡清楚,可以通过这样一个过程让小学生的数学能力和思维能力在中潜移默化中得到提升。

例如,在学习《100以内的加法和减法时》,教师可以设置这样的问题“小明去年身高为85厘米,今年的身高为93厘米,请问小明比去年长高了多少?”从学生的日常生活出发,设置这样的问题,引导小学生进行思考,提高数学思维能力。

二、结合图形,加深理解

在小学数学教学中培养小学生的思维能力,需要帮学生理清各个数学知识之间的内在逻辑,需要采用一些灵活的数学思维教学方法。数形相结合的数学教学方法,能够让小学生在将抽象的数学知识转化为一个形象具体的数学问题的过程中增强自己的思维能力,能够将数量关系和空间结合的结合起来探究数学知识的本质,从而提高小学生分析和解决问题的能力,不断深化小学生的思维深度。因此,教师在小学数学教学过程中,在讲解数学理论知识的同时,可以充分利用一些比较直观和形象的线段和图形来表示,使得数学的学习更加清晰明了。同时,教师在教学过程中也可以将图形上的数学知识抽象为一定的数量关系,从而加深小学生对数学概念的理解,更好的指导小学生分析和解决问题。

例如,在学习《周长》这一章节时,如果教师仅仅让学生死记硬背长方形的周长公式C = 2×(长+宽),而没有讲清这个公式为什么是长方形的周长公式、是如何得到的,这使得小学生在今后的数学学习过程中,如果遇到稍微有一点变化的求长方形周长问题时,很难做到灵活变通,变得无从下手。因此,教师在小学数学教学过程中要注重用数学的思维方法来帮助和引导小学生去理解一些比较抽象的公式和概念,使得在遇到其他数学问题时能灵活变通。在小学数学阶段,求解长方形周长一般会用到以下三种方法:(1)长+宽+长+宽;(2)长×2+宽×2;(3)(长+宽 ) ×2。教师在讲解过程中,要将数形紧密的结合起来,画出这三个公式分别都是在什么情况下出现的以及结合加减乘除运算法则推算出最简便的周长公式。

三、联系实践,提高运用能力

数学来源于实际生活,最终也将用于实际生活。因此,在小学数学教学过程中,教师应该抽象的数学理论知识与学生的日常生活紧密联系起来,提高小学生在实际生活中运用数学的能力。培养小学生的思维能力,需要有一个良好的学习环境,让小学生能够快速融入数学学习过程中去,不断训练小学生的思维能力。教师要能够常设数学教学情境,引导小学生从实际生活获取相关的场景,通过日常的感知慢慢上升到数学的理论知识的学习。比如,在学习《长方体》时,教师切勿按照数学教材上进行授课,如果只是简单粗暴的告诉小学生长方体有几个面、几个角,每个角每个面都有什么特点的话,小学生一下子很难接受和理解。教师可以让学生联想一下家里的空调和冰箱,它们是什么形状有什么特点,以此来培养小学生思维的活力和灵活性。另外,教师也可以在数学学习的过程中,设置一些在日常生活中遇到的数学问题,鼓励学生用所学的数学知识来解决,切实提高小学生的数学能力。

为了巩固学生的“乘法”的相关知识,教师可以设置一些学生在日常生活中都会遇到的问题:文具盒5元一个,钢笔3元一支,如果小红买2个文具盒和3支钢笔,一共要给售货员多少钱?让学生在解题的过程中,不仅加深对所学知识的理解,也学会了如何在实际生活中运用数学思维。

四、结语

综上所述,在小学数学教学中培养小学生的思维能力必须引起教师的足够重视,并在日常教学中切实落实。小学教师必须要转变传统的数学教学理念,树立正确的数学教学观,深刻认识到提高小学色的思维能力的迫切性。在小学数学教学中,教师通过设置问题,引导学生将所学的知识与实际生活联系起来,不断激发学生学习数学的动机,数学过程中不断训练小学生的思维能力,提高分析问题和解决问题的能力,鼓励小学生进行自主探究,不断提升小学生的思维能力。

(来源:中国教育学会会员通讯第493期;作者:谢月娟,中国教育学会会员)

小学三年级数学思维训练:年龄问题的解题方法(3-007) 0

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白狸

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年龄问题在小学是一类常见问题。其特点在于不同年龄的人,年龄差始终不变,而年龄的倍数却年年不同。所以解答这类问题要抓住“年龄差不变”。运用“和差”、“差倍”等知识分析解答。

解题一般思路:

例1:豆豆今年2岁,妈妈今年27岁,几年后妈妈的年龄是豆豆的6倍?

分析:豆豆和妈妈的年龄差不变,永远是27-2=25(岁),当妈妈年龄正好是豆豆的6倍时,她们的年龄差仍然为25岁,这25岁时妈妈比豆豆多6-1=5倍所对应的年龄,根据差倍问题解答方法可以求出当时儿子的年龄。

解:

(1)妈妈比豆豆大:27-2=25(岁)

(2)当妈妈年龄正好是豆豆的6倍,豆豆年龄为:

25÷(6-1)=5(岁)

(3)5-2=3(年)

答:3年后妈妈的年龄是豆豆的6倍。

例2:刘老师14年前的年龄相当于女儿14年后的年龄,当刘老师的年龄是女儿的5倍时,刘老师多少岁?

分析:刘老师14年前的年龄相当于女儿14年后的年龄,也就是刘老师比女儿大:14+14=28(岁),当刘老师的年龄是女儿的5倍时,他们的年龄差仍然是28岁,而他们的倍数差为5-1=4 倍,这样就可以用“差倍问题”的解法了。

解:

(1)刘老师比女儿大:

14+14=28(岁)

(2)女儿的年龄:

28÷(5-1)=7(岁)

(3)刘老师的年龄:

5×7=35(岁)

答:刘老师35岁。

练习:

毛毛今年9岁,妈妈今年37岁。几年后,妈妈的年龄是毛毛的3倍?小云今年8岁,爸爸今年34岁,几年后,爸爸的年龄是小军的3倍?

于文丽:小学生数学思维如何养成 0

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陈又晴

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数学的核心内容就是思维能力的运用,拥有良好的思维能力是解决数学问题的根本。但在目前的小学数学教学中,常常是教师占据主导地位,学生的思维跟随着教师的思维行进,学生缺乏独立思考。怎样让小学数学的课堂成为诱发学生创造性思维的沃土,让学生“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”?在教学实践中如何培养学生的数学思维?笔者总结了三个方法。

一是追求渗透,启发领悟。当前小学数学教学中,存在两种现象:一是单纯地进行知识点讲解,二是轻例题教学、重课堂练习。二者的本质是一样的,即只追求学生掌握数学知识,掌握常见题型的解答,而不注重分析知识和习题背后的数学逻辑。长期采用这样的教学方式,会磨去数学本身的学科魅力,不利于学生数学思维的养成。

教师应当把知识教育与思维训练巧妙融合,把思维训练渗透到每一节课,植根于每一个知识点。要根据小学生的思维特点,指导学生运用观察、实验、比较、猜想等方式,充分揭示思维过程,把概念的形成、结论的推导、规律的概括等过程渗透在教学过程中,使学生亲历知识发生、发展的曲折而生动的思维过程,让学生近距离感受数学思维的美。

二是积极动手,引导思维。苏霍姆林斯基说过:“儿童的智慧在他们的手指尖上。”小学生有足够的动手欲望,对数学这样一门思维体操来说,将抽象思维和“动手动脚”结合,往往有意想不到的积极效果。我在讲授长方体的体积公式时,找了12个小正方体积木,让学生试试可以拼成哪些不同的长方体,又让学生测量它们的长宽高,引导学生思考长宽高与体积的关系,最后推出长方体的体积公式。看似简单的一项操作,却让学生的学习积极性大为提高。有学生课下找到我,问其他多边体的组合是否也适用这个公式。这充分说明动手实践对学生数学思维的激发。

三是任务驱动,激发活力。小学生处于对周围事物充满好奇心和求知欲的认知阶段,教师在教学中可以适当给学生布置一些信息任务,提出一些数学问题,让学生带着问题和任务进行课堂学习。设立任务时,应注意任务的可行性和有效性,要能为学生提供广阔的思维空间。比如,讲授立方体的表面积时,我特意了解到某学生即将过生日,然后准备了一份需要包装的小礼物和彩纸,要求全班学生帮我用最少的彩纸完成任务。学生的积极性一下子被调动起来,为了完成任务,他们提出了很多充满童趣的方案。这时,我再提出让他们测量小礼物的长宽高,并介绍面积的计算公式,引导学生用数学思维解决实际问题,进而思考:如果立方体的表面是不规则图形,该怎么计算?一个普通的表面积计算就拓展为对整个几何图形知识系统的探究。学生对这些问题进行思考猜想的过程,就是数学思维的培养过程。由此可见,任务驱动的过程也是数学思维开拓能力、实践探究能力提升的过程。

总之,在数学的教学过程中,教师需要有意识地培养学生运用数学思维解决实际问题的方法,让他们能够自由发挥。长期坚持的话,学生就会对数学产生浓厚的学习兴趣,养成优秀的数学思维。

小升初家长必看:小升初典型题训练和方程能力训练 0

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琵琶吟

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鸡兔同笼问题是中国传统的趣味数学问题,也是目前小升初数学必考内容之一,今天我们来详细的看看如何用这一个问题训练小学生的多种能力。

在小学三年级的奥数书上,鸡兔同笼问题就开始出现了。奥数书首先给出的解法是假设法。假设能力是奥数能力之一,是小学生必须接受训练的一种能力。

先举一个典型例子来说明:某笼子里有鸡和兔共20只,鸡脚和兔脚共有50只,问笼子里鸡有多少?兔有多少?

鸡兔同笼是小升初必考题

一、假设法能力训练

假设法求解:假设20只全是鸡,那么就应该有40只脚,但目前脚有50只,多出10只脚。一只兔比一只鸡多2只脚,共多出10只脚说明有5只兔子。鸡就应该是20-5=15只。

假设法是一种重要数学思维方法。其流程是:先假设某种情况,根据假设退出一种结论。这个结论与事实有出入,那么根据出入来修正我们的假设。在现代科学中,假设法也是一种常用的研究方法。

假设法训练还有一个经典题,也是小升初数学必考题:

小明参加数学竞赛,共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣2分。小明得了65分,问小明做对了多少题,做错了多少题?

假设法是一种重要的数学方法

二、列方程之等式训练

在小学五年级的列方程解应用题教学中,首先要做的是列等式训练。

还是用上面那道鸡兔同笼:某笼子里有鸡和兔共20只,鸡脚和兔脚共有50只,问笼子里鸡有多少?兔有多少?

等式训练的要找一些关键词。鸡和兔共20只,“共”就是一个加法算式:鸡+兔=20;同理,鸡脚+ 兔脚=50。

等式训练的关键是一种语文阅读练习,读懂之后还需要翻译成数学等式。

常见的一些词语要能够熟练翻译成数学等式:

鸡和兔共20只:鸡+ 兔=20;

鸡比兔多3只:鸡-兔=3;

鸡比兔少3只:兔-鸡=3;

鸡是兔的3倍:鸡=3*兔;

鸡比兔的3倍少2只:鸡=3*兔-2;

鸡是兔的1/3:鸡=兔*(1/3);

鸡比兔多1/3:鸡=兔*(1+1/3);

鸡比兔多25%:鸡=兔*(1+25%);

鸡比兔少25%:鸡=兔*(1-25%);

列方程可以这样训练

三、设未知数、代数式和列方程训练

设未知数有一个窍门,那就是找最简单的变量设x,其它变量用x表示也容易。比如上面这道鸡兔同笼涉及变量为鸡头,兔头,鸡脚,兔脚。

鸡头和鸡脚显然鸡头简单一些。鸡头和兔头差不过。所以可以设鸡头为x。

那么其它几个变量如何表示呢。

在等式训练中,已经给出两个等式。

鸡+兔=20;

鸡脚+兔脚=50

这两个等式中有一个用来写代数式,另一个用来列方程。往往选择复杂的那个来列方程。

选:鸡脚+兔脚=50列方程,那么这个方程相关变量需要用代数式表示。

鸡脚:2x,兔脚:4*兔头=4*(20-x)

所以:2x+4*(20-x)=50

由于数学问题的讲解,不是很容易用文字描述清楚,有机会我会出一系列视频来说明。余老师将会写这些文章的目的,是希望家长可以陪孩子学习,最好能够指导孩子的学习。不少家长不知道如何指导,我这个百家号就是帮助家长解决这个问题的。

这些小升初数学问题可以一步一步的训练,孩子能力可以自然而然提高。

方程问题是小学和初中的重要内容,也是不少孩子的噩梦,但只要教师教学得当,孩子掌握这部分内容是比较简单的。

给家长们两道鸡兔同笼的练习题:

【1】鸡和兔共有20个头,兔脚比鸡脚多14只,问鸡和兔各有多少只?

【2】鸡兔同笼,鸡比兔多25只,一共有脚170只,鸡和兔各有几只?

思维训练不是学习加压!1个趣味方法,3岁开始启蒙孩子数学能力! 0

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Sidi

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数学早教中,常常说的让孩子理解性的学习,可以小到从每个数字着手!

这段时间,我在微头条中分享了很多早教中,通过游戏或趣味做题,拓展孩子逻辑思维的方法。(有兴趣的朋友可以关注我们哦~)

比如——

不过大多数都比较适合5-6岁处在幼升小阶段的孩子,

就有很多家长私信问我有没有什么训练3-4岁孩子思维能力的方法。

所以今天,我就主要讲讲低龄孩子如何进行数学早教。

1.低龄孩子早教的核心准则

孩子的年龄越小,思维能力越薄弱,认知与短期记忆都相对差一些。

不断灌输给孩子新的、更多的知识点,远远不如在孩子已学的知识上,叠带游戏,拓展训练,多角度理解同一个知识点,启发孩子的思维。

这种早教理念的优势在于——

①不超前学习,也不会过早给孩子带来“学习”压力,让孩子丧失兴趣。

②反复复习知识点,不断训练思维能力,给孩子大脑注入强大数学因子,这也是以后学习任何其它学科时,最本质的基础。

2.具体的学习方法

我们以家长最关心的“认识数字”为例,具体讲解!

参考下图:花坛里有3种花,让孩子数一数每种花各有几朵,就在下面涂相应数量的小圆。最后说一说他们的数量是几。

注意:先让孩子“涂小圆”而不是写数字,是因为“涂圆”对孩子来说和“数花朵”一样,是有趣的、具象的图画。

具象和游戏在前,抽象和数字在后,是符合孩子认知的学习方法!

参考下图:先让孩子数一数每张桌子旁边坐了几个小动物,每个小动物需要吃一个饼干的情况下,思考一下饼干够不够吃。

家长还可以提前准备好一些小贴纸,让孩子把缺少的饼干数量,用贴纸替代给小动物们。

注意:其实这里面已经参杂了“加减法”的知识,但是在游戏中,家长不必给孩子强调“5-2=3”等抽象的计算概念。而是用贴纸替代,让孩子一比一的去感受“2比5少多少”,“2加几才是5”。

这些思考过程是孩子逐步建立自己完整思维模式的重要过程。

很多家长表示自己孩子很快就学会了“1-10”,甚至“1-20”的点数,但是却很容易错过识数之外,拓展思维,理解数学的能力。

谨记在数学早教的大纲中,3-4岁的孩子只需要认识“1、2、3、4、5”。

家长不妨用我今天讲的方法,让孩子把每个数字吃透、学透!

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小学三年级数学思维训练:盈亏问题的解题方法(3-006) 0

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烤全猪

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转载自百家号作者:丹格教育

把若干物品平均分给一定数量的对象,并不是每次都能正好分完。如果物品还有剩余,就叫盈;如果物品不够分,少了,叫亏;如果物体正好分完,叫尽。已知所“盈”和所“亏”的数量,求物品数量和人数的应用题,叫做盈亏问题。

一般解题方法:

解答盈亏问题,要求出总差数,以及两次分配的数量之差,再按照公式求出人数,再求物品数量。

解答时常用比较法。

例1:东方阳光小学组织同学们植树,如果每人载5棵,则多12棵树;如果每人载7棵,则少4棵树。一共有多少名学生?多少棵树?

分析:由题意可知:

初分时:每人分5棵,多了12棵。

再分时:每人7棵,少了4棵。

原来分时,多了12棵,后来分却少了4棵,一共相差12+4=16(棵),为什么会出现这种现象?因为原来每人分5棵树,现在每人分7棵树,现在每人多分了7-5=2(棵),每人多分了2棵,而现在相差16(棵),说明人数是16÷2=8(人),树的棵数是5×8+12=52(棵)或7×8-4=52(棵)。

综合算式:

(12+4)÷(7-5)

=16÷2

=8(人)

5×8+12=52(棵)

答:一共有8位同学,52棵树。

例2:小敏从家去公园。如果每分钟走80米,她可以提前15分钟到公园;如果每分钟走60米,她可以提前10分钟到公园。小敏家距离公园有多远?

分析:每分钟走80米,可以提前15分钟到公园,也就是还可以再多走80×15=1200(米)。

每分钟走60米,就可以提前10分钟到校,也就是还能够多走60×10=600(米)。

两次每分钟相差的距离是80-60=20(米),而两次相差的总距离为:1200-600=600(米),需要的时间是:600÷20=30(分钟),也就是需要的时间为:600÷20=30(分钟)。小敏到公园的距离是:80×(30-15)=1200(米)。

解:

答:小敏家到公园的距离是1200米。

练习题:

新学期阳光小学同学搬书,如果每人搬6本,那么书剩余10本;如果每人搬7本,则还少25本。问有多少同学?有多少本书?将一些苹果分给小朋友,每人分3个,还多出4个苹果;如果每人分2个苹果,则还剩13个苹果。问学生有多少人?

2018小升初数学思维训练专题七:浓度与配比经典题型以及解题方法 0

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成仁

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基本概念

溶质:溶于液体的物质(可以是液体、固体,如糖等)

溶剂:溶解物质的液体(水)

溶液:溶质和溶剂的混合物(如糖水、酒精等)

基本公式

溶液质量=溶质质量+溶剂质量

浓度=溶质质量/溶液质量×100%=溶质质量/(溶质质量+溶剂质量)×100%

溶质质量=溶液质量×溶液浓度

溶剂质量÷(1-溶液浓度)=溶液质量

解题方法

1.直接计算:找出题目中的不变量,有些题溶质不变,有些题溶剂不变,抓住不变量,根据题意解题。

2.十字交叉法:适用于浓度问题中,两种不同浓度的溶液配比问题。

3.方程思想:抓住不变量,列方程解题。

经典例题

例题一、有含糖量为7%的糖水600克,要使其含糖量加大到10%,需要再加入多少克糖?

解题方法:根据题意,在7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度,糖的质量增加了,糖水的质量也增加了,但水的质量并没有改变。因此,可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量,再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量,用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。

原来糖水中水的质量:600×(1-7%)=558(克)

现在糖水的质量:558÷(1-10%)=620(克)

加入糖的质量:620-600=20(克)

答:需要加入20克糖。

例题二、一种35%的新农药,如稀释到1.75%时,治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水,才能配成1.75%的农药800千克?

解题方法:把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中,溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。

800千克1.75%的农药含纯农药的质量为 800×1.75%=14(千克)

含14千克纯农药的35%的农药质量为 14÷35%=40(千克)

由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为 800-40=760(千克)

答:用40千克的浓度为35%的农药中添加760千克水,才能配成浓度为1.75%的农药800千克。

例题三、现有浓度为10%的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水?

解题方法:这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了,但总体上溶质及溶液的总质量没有改变。所以,混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的量。

20千克10%的盐水中含盐的质量 20×10%=2(千克)混合成22%时,20千克溶液中含盐的质量20×22%=404(千克)需加30%盐水溶液的质量 4.4-2)÷(30%-22%)=30(千克)

答:需加入30千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水。

举一反三

1.把30克含盐16%的盐水稀释成含盐0.15%的盐水,需要加水多少克?(请用直接计算法解题)

2.把含盐5%的食盐水和含盐8%的食盐水混合制成含盐6%的食盐水600克,分别应取两种食盐水多少千克?(请用十字交叉法解题)

3.一杯含盐15%的盐水200克,要使盐水含盐20%,应加盐多少克?(请用方程思想解题)

2018小升初数学思维训练专题六:经济问题的经典题型以及解题方法

2018小升初数学思维训练专题五:循环小数的经典题型以及解题方法

2018小升初数学思维专题训练四:简单方程的经典题型以及解题方法

逻辑方法能力提升训练 0

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楼代荷

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1.6. 逻辑方法能力提升训练

1.6.1. 方法金指

[要义] 1.认识形式逻辑思维方法,提高逻辑思维能力。 2.学习运用形式逻辑思维方法对作文进行审题、立意;教学重点:学会在作文中运用形式逻辑思维进行审题立意。3.了解并掌握概念的辨析与定义。4.了解并掌握简单的判断;5.了解并掌握推理的一般规律。6.了解并掌握一般的逻辑规律。

一、导入

二十一世纪的作文教学应注意培养训练学生的逻辑思维能力。郭沫若同志早在1958年就说过:“要使文章写得好,恐怕总得懂一些逻辑……,因为不合逻辑就不通。”著名语言学家张志公先生也说:“从中学时期就训练一副逻辑头脑,以后无论写什么,做什么,都将受益无穷。”可见,逻辑思维能力训练在作文教学中占有很重要的地位。那么,什么是逻辑思维呢?逻辑思维方法究竟是什么呢?作文的审题立意中如何运用呢?

二、逻辑思维的基本方法

逻辑思维分形式逻辑思维和辩证逻辑思维两种形态,我们重点把握形式逻辑思维及其在写作中的运用;那什么是形式逻辑思维呢?所谓的形式逻辑思维是对某一类事物感性认识的材料进行理性的认识加工,从而得到对其本质或规律的一般性认识,形成抽象的概念或判断,是思维的高级阶段。其基本方法包括:分析、比较、综合、归纳、演绎、概括等。

①分析——把事物的各种属性、各个部分分解开来分别研究的思维方法。思维的分析主要借助言语进行,有过滤式分析和通过综合的有方向的分析两种形式。分析是深入认识事物整体的必由之路。

②比较——把各种事物加以对比,辨析其异同的思维方法。通过比较,可以发现事物之间的相同点和相异点、本质特征和非本质特征。

③综合——把事物的各种属性、各个部分联成整体进行考察的思维方法。即在头脑中把整体的各个部分或各个方面联系起来,把整体的个别特征或个别属性结合起来。

④概括——把抽取出来的事物的共同的一般属性或本质属性联系起来加以考察的思维方法。概括分为初级概括和高级概括两种。

⑤演绎——从一般到特殊,即从一般性原理出发认识那些尚未知晓的有关事物的思维方法。它是根据一般原理推出特殊事物的思维过程。

⑥归纳——把各种事物按一定的标准归成纲目、类别的思维方法。归纳是“从特殊到一般,由实验事实到理论”的推理方法。归纳法可分为完全归纳法和不完全归纳法。

二、概念、判断、推理与逻辑规律

有这样一个笑话:有个富翁,左邻是铜匠,右邻是铁匠,成天价叮叮咚咚吵得厉害。富翁特地备了一桌酒席,请他们搬家,左右邻居都答应。赶到两家都搬了家之后,叮叮咚咚还是照旧,原来是左边的搬到右边,右边的搬到了左边。

按富翁所说的“搬家”暗含着搬到一定距离之外的意思,可照字面讲,只要把住处挪动一下,就是搬家,两位高邻也确没有失信。问题就在于“搬家”这个词可表达不同的概念。下面我们就了解有关逻辑中的一些知识。

(一)概念的辨析

1、定义

示例一:“人”,从身体的角度说,有肤色、高矮、胖瘦,是否健康等属性,从社会性方面说,有民族、国籍、职业、地位等的不同;从个性来说,又有性格、爱好、能力等方面的差异。可以说“人”本身具有无数的属性。那么,给“人”应如何下一个定义的呢?且看古希腊唯心主义哲学家柏拉图给“人”下的定义:人是没有羽毛的两脚直立的动物。有人拿着一只拔去羽毛的鸡,说道:“这就是柏拉图的‘人’。”可见,柏拉图给人所下的概念过宽了。那么,我们想一想,概念应反映事物的哪方面的属性呢?

明确:概念,就是反映事物的本质的特有的属性的思维形式。

2.概念方面的常见错误

①概念不符合事实

概念是反映事物本质属性的,既是反映客观事物,概念就必须符合客观事物的情况,如果一个概念不能反映或者不能正确反映客观存在,这个概念就是个错误概念。

例:建设兵团的战士正在场地休息,突然夜空中一道明亮的闪光在飞驰,一团火球向他们附近落下,接着听到一声雷鸣般的巨响。

辨析:“闪光”这个概念不符合事实。“闪光”是忽明忽暗的光,而这是写的是流星。陨石下落时与空气剧烈磨擦而产生的光,在空中形成了一道亮线,不是忽明忽暗的。因此,“闪光”这个概念应当换成“白光”或“亮光”。

②概念不符合事理

事理,就是事物的道理、常理。概念要反映客观事物,必然要反映这一事物的事理,如果反映的不是按理说的那么回事,这个概念就用错了。

例:每年八月上旬到十月中旬是塞内加尔全国植树日。在这期间,政府要组织全国人植树。

辨析:“植树日”只指一天,但“每年八月上旬至十月中旬”则有60多天,不是一日,“植树日”这个概念就不合事理,因而“植树日”要改为“植树期”。如果植树期在塞内加尔就叫“植树日”,那就应当加以说明,否则读者会感到费解的。

③概念彼此无法配合

一个概念用来进行判断或推理时,总要同其他概念相互配合,才能组成正常的判断,进行正常的推理。要是一个概念同其他概念不能配合,那么组成的判断就不能对事物进行正常的判断,推理也就不能正常进行。

例:牛郎织女虽然横遭非难,但他们的爱情是不可分离的。

辨析:“爱情”本身谈不到“分离”,能“分离”的是人,因而“分离”这个概念用得不对,不能同“爱情”配合。“不可分离”可以改为“不可摧毁”或“破坏不了”。

④词语表示多个概念

概念是用语言中的实词和短语表示的。由于词语的多义性,常用的实词和短语往往表示多个概念。不过,在实际的语言运用中,在一定的语言环境里,词语就只表示某一个概念,而把其他概念排除在外。可是,如果安排不当,词语在表示时不具有唯一性,无法排除其他概念,就会产生歧义。

例:鸦片战争之前,法国对华贸易远在英美之后。

辨析:“之后”可以表示“贸易额落后”,也可以表示“时间较晚”。由于上下文的语境不能排除其余意思,所以“之后”在这里同时表示了两个概念。可以改为“法国对华贸易额远远比不上英美”或者“法国对华贸易比英美晚”。

⑤概念外延不明

概念外延不明,是指那些本来有清楚或较清楚外延的概念在一定语言环境中外延过于模糊不清,让人产生猜测,影响理解。

例:他们用这种导体制成了光导电视摄像管,这种摄像管为普通电视摄像管的十分之一,而灵敏度却高十倍。

剖析:“普通电视摄像管的十分之一”是外延不清的概念。是指普通电视摄像管重量的十分之一,还是体积的十分之一,或者是价格的十分之一,不清楚。因此,必须限定一下,在“摄像管”的后头加上“重量”或“体积”之类,将外延缩小一些。

⑥概念外延过小:

在一定的语言环境中,概念的外延应当准确合适。如果限定词语不够,概念外延就会过大。但如果限定过多,或者,虽没有限定词语,上下文已说明在该用外延更大的概念时都用了外延小的概念,就会造成外延过小的逻辑错误。

例:口琴、钢琴和胡琴等乐器能吹奏出许多雄壮、活泼动人的乐曲。

辨析:“口琴”可以“吹奏”,而“钢琴”只能“弹奏”,“胡琴”只能“拉奏”。可见“吹奏”只能管“口琴”,外延太小,用在这里不恰当。这里可以用“奏”或“演奏”。用这个属概念才能涵概所列举的乐曲。

3、概念的定义的方法

示例二:什么是帝国主义?帝国主义是垄断的、腐朽的、垂死的资本主义。

在这句话中,“帝国主义”是需要明确的概念,叫被定义概念,垄断的、腐朽的、垂死的“资本主义”是用来揭示概念的内涵的概念,叫定义概念。怎样给一个概念下定义呢?列宁说过:“下定义”是什么意思呢?这首先就是把某一个概念放在另一个更广泛的概念里。也就是我们在逻辑中常说的属加种差。其公式为:

被定义概念=种差+属概念

这里的“种差”就是指一个种概念和同一个属概念下面的其他种概念间的本质差别。

例:《统筹方法》一文中,是这样给“统筹方法”定义的:

统筹方法是一种安排工作过程的数学方法。

分析:“统筹方法”本质是数学方法的一种,也指明了它与其它数学方法的区别:安排工作进程。这里“统筹方法”是被定义概念(种概念),“数学方法”是属概念,“安排工作过程”是种差。

利用这种方法下定义时,应注意:

a.不能用否定语句来表达;b.定义概念与被定义概念外延要吻合;c.定义不能含混不清,不能用比喻句,不能用被定义概念来说明被定义概念。

小练习:阅读下面一段话,给“湿沙层”下一个定义。

根据近年治沙的经验,陕北榆林、内蒙古磴口、甘肃民勤地区的流动沙丘,表面干沙层的厚度一般不超过10厘米,10厘米以下,水分含量逐渐增大,到40厘米的深处,水分含量达到2%以上,这就是湿沙层了。

分析:给“湿沙层”下定义,该怎么说?我们就要认真分析“湿沙层”的本质特征是什么,怎样才能把它与“干沙层”区别开来。首先,湿沙层的位置应该在“沙丘表面10厘米以下至40厘米的深处”,其次它的“水分含量要达到2%以上”,这两点就是能够区别于干沙层的本质特征。

定义:沙丘表面10厘米以下至40厘米的深处,水分含量达到2%以上的沙层就叫湿沙层。

(二)逻辑中的判断

有这样一个故事:一个寒夜里,将军在营幕内饮酒。两边点着大蜡烛,身旁生着火炉子,再加酒力发作,于是头上便冒出了汗珠子。将军一边擦汗一边叹气说:“天气不正常了,应该是寒天了,却还是这么热!”

有个士兵在营门外站岗,被冷风吹得发抖。他听见将军的话,便进来对将军说道:小人们站的地方,天气倒是正常的,大人不信,不妨去试一试看!

分析:将军对天气所作的判断显然是不真实的,要证明将军所作的判断的虚伪性,最好的办法就是让他去吹吹冷风,受受寒气,让客观的事实来推翻他主观的胡说。

1.判断的定义:

在逻辑学中,判断是指对事物表示肯定或否定的思维形式。

分析:例如:“太阳是恒星”,就是对“太阳”进行判断,肯定“太阳”具有“恒星”的性质,肯定它属于“恒星”这一类星体。又如:“月球不是行星”,也是对“月球”进行判断,否定“月球”具有“行星”的性质,否定它属于行星这一类星体。

2.判断的构成:

被断定的事物为主项,如上述“太阳”和“月球”,断定事物有什么性质,属于什么的那一项为谓项,如上述的“恒星”和“行星”。把主项和谓项连接起来的叫“联项”,如上述的 “是”。此外,还有质项和量项。例如:“所有的鲸都不是鱼”, “不”是质项,“所有的”是量项。

3.判断方面的常见错误:

(1)主项与谓项不合。

主项是被断定者,谓项是断定者。两者之间可以是等于关系,属种关系。但不论是什么关系,谓项必须能断定主项,肯定主项或否定主项。否则就犯主项和谓项不合的逻辑错误。

如:红壤是我国亚热带植物或作物的主要产区,这里最适宜茶叶生长。

分析:“红壤是我国亚热带植物或作物的主要产区”这个判断不能成立。主项“红壤”是种土壤,谓项是一种区域,二者有什么关系,既没有等于、属于、包含于的关系,也没有其他逻辑关系,所以主项与谓项不合。“红壤”可以改为“红壤区”。

(2)量项失当。

量项表示主项的范围,表示是主项的全体,还是部分,或者是单个的对象,表示合体,常用“凡”“凡是”“所有的”等,表示部分常用“有的”“有些”等,量项使用不当,也是判断中的常见错误。

如:有些学校滥收费的做法应当坚决制止。

分析:这句话有歧义。“有些”如果说明“学校”,那就是蕴含“其他学校滥收费的做法不应当制止”的判断,“有些”如果说明做法,那就蕴含“其他滥收费的做法不应当制止”的判断。而作者的原意是说只是有些学校滥收费,并非所有学校。那么,例句就应当这样修改“有些学校滥收费,这种做法应当坚决制止。”

(3)质项不当

表示判断性质的那一项叫质项,根据质项的不同,可分为肯定判断和否定判断。质项不当,就是误用“不”、“没有”等质项,使肯定判断错成否定判断,或让否定判断成了肯定判断。

如:没有任何科学家,否认物质不是由原子构成的。

(4)模棱两可:

一个判断应当表示一个确定无疑的思想,而不应当模棱两可,产生歧义。

如:他是一位学识渊博的老教授的儿子。

(三)逻辑中的推理:

1.定义:所谓推理,就是由已知判断推出新判断的思维形式。

2.类型:①直接推理:由一个已知判断推出另一个新判断的思维形式。

如“π是无理数”可以推知“π不是有理数”。

②间接推理:由一个以上的已知判断推出另一个新判断的思维形式。可分为归纳推理,演绎推理和类比推理等类型...

如何培养学生的数学思维 0

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语薇

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新的数学课程标准把“数学思考”作为数学教学的总体目标之一,可见数学思维是教师教学的生命线,如何培养学生们的数学思维呢?做好以下几个方面吧。

一、动手能力。教师在教学实践中动手操作或让学生自己动手操作,最能激发学生的学习兴趣,保持学生稳定的注意力。

二、举一反三。类比方法是根据两类事物之间的相似性,从而推导出其他方面也有类似性质的推理方法。在数学教学中运用类比的方法是比较重要的一种方法。

三、巧设阶梯。现代心理学认为,为教学应设法为学生创设逼真的问题情境,唤起学生思考的欲望,让学生真正体验到用数学知识解决实际问题的乐趣。因此,要尽量做到在数学教学过程中加强实践活动,设计开放性习题,让学生在实践中提高创新思维。

四、切忌片面。数学教学,使学生理解知识仅仅是一个方面,更主要的是要培养学生的思维能力,掌握数学的思想和方法。我觉得加强数学教学中的变式训练对培养学生的数学思维能力有很大的帮助。

培养学生的数学思维能力绝不是一蹴而就的事,需要老师在数学教学中有所侧重,在讲数学知识的同时,还要注意对学生思维能力的培养,循序渐进,不急不燥,由浅入深,依学生的智力状况因材施教。学生也要强化思维训练。建立思维比知识重要的认识,逐步提升自己的数学思维水平。

袁隆平院士亲身经历:教我们怎样学好数学? 0

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山雁

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数学这门学科从幼儿园、小学、初中、高中、大学等甚至更多地方都要学习,也是很多中小学孩子学习过程中的噩梦,有多少人怕数学?又有多少人学不好数学?但是无论你是哪种情况,可还是会花时间去学数学,知道要学好数学!

但你一定有过这样的疑惑:学生应该怎样学好数学?家长和老师又应该如何指导孩子

学好数学呢?

先让我们一起来看看袁隆平院士、杂交水稻之父的故事吧!

他在一次电视访谈节目中,谈到了他学习数学的一段往事:他开玩笑似的和女主持人说:他最后悔的一件事就是小时候数学没有学好!

这怎么可能呢?女主持人诧异地问:“像你这么著名的科学家,数学怎么会学不好?”

其实袁隆平院士是通过他小时候学数学的经历,在讲一个道理。

原来他在上初中的时候,有一次上课学“正负数运算”,他的数学老师讲“负乘负得正”。他想不明白为什么。他说正数乘正数得正数,好理解,为什么负数乘负数也得正数呢?

他就去问数学老师,但是他的数学老师也没有把“负负得正”讲明白,让他记住会做题就行了。袁隆平院士说,从此他对数学就不感兴趣了,数学也就没有学好了。

其实故事听到这里,我们是不是也就知道了,袁隆平院士后来为什么在水稻种植上做出了那么大的成就了吧?他从小就非常喜欢独立思考问题,喜欢爱刨根问底,不轻易接受一个结论,这是一个学生学习知识时最宝贵的素质。

这个故事也从另外一个侧面告诉我们:任何学生都是不喜欢死记硬背结论的,他们都是有强烈的求知欲的,这种对数学知识背后的道理的追问,正是孩子喜欢学习这门学科的最大的动力。

作为老师的我们,就要在课堂上,给学生参与思维活动的机会,让学生在解决数学问题的思维活动中学习数学;同样,作为家长,不要把每次的考试分数看得太重,而是应该关注您的孩子是不是对思考数学问题有兴趣。

比如:您的孩子在学数学时,你可以观察他,看看他自己能不能提出一些问题,有没有想不明白的问题。您也可以尝试用您对数学知识的理解,用浅显易懂的方式和您的孩子去交流。

比如:如何解释“负负得正”呢?如果是您的孩子问您,您如何回答呢?

北京航空大学的李尚志教授在一次讲座中,他是这样来解释的:“一个人站在你面前,如果面对你为正,向后转为负,从面对你开始连续后转两次,就又面对你了”。李教授就用这样一个形象的比喻,把负负得正解释清楚了。

想当年如果袁隆平院士能够听到这样的解释,也许他会喜欢上数学,没准一不留神,会成为一名在数学领域有成就的数学家呢。我们在和自己的孩子交流的时候,也经常可以向他提出一些问题,看看他是不是对所学的知识有深入的思考。

比如您可以问问,为什么5+7=12呢?如果您的孩子解释不出来,没关系,让他把这个问题留下来,好好思考,也可以去翻翻书。

实际上道理很简单,要解释5+7=12,首先要解释5和7是什么?他们之间是什么关系?5和7都是自然数,它们的存在是由于1是单位量,5是5个1,7是7个1,由于有共同的单位量,它们就可以运算了。所以5+7是12个1,所以才有5+7=12。

我们常说一生二、二生三,进而生成事物的全部,或者说生成万物,那么一就是事物的起点和事物演变的起点;同样数学也反映了这个基本规律,这种规律实际上就是我们所说的公理化思想的体现。我们的孩子在学习数学的时候,如果能够学会提出问题、能独立思考数学问题,他也就会觉得,学习数学是挺有意思的一件事情了。

那么,如何学好数学呢?

要学好数学,首先要做到:“想明白、说清楚”。

什么叫想明白呢?

袁隆平院士不就是对“负负得正”想不明白,才不喜欢学习数学的吗?想明白,就是指动脑筋,要思考。如果一个学生在做数学题的时候,连题目说的是什么都不清楚,就匆匆忙忙去做题,怎么可能把问题解决出来呢?

说清楚,就是要能够用自己的语言把自己对数学问题的理解表达出来,这种表达是对学生数学思维的最好的训练。只有想明白的学生,才能够说清楚,说不清楚的,一定是还没有想明白。

我们的孩子在解决问题之前是不是真正地看懂了问题呢?作为家长,其实可以让孩子给你讲一讲。

把刚学过的数学定理或数学公式的含义、推导方法讲给你;

把他刚学过的数学概念说一说……

您把自己放在一个学生的位置,让您的孩子教教您。

你在听的过程中就可以通过他是否“说清楚”了来评价他是否“想明白”了。

作为家长,要能够帮助我们的孩子想明白,说清楚。让我们的孩子都喜欢思考问题,都喜欢研究问题,那么,他们就一定能够从数学的学习中享受到思维的快乐。

这里还有一个问题需要澄清:

做题越多,数学的能力越强吗?

我们经常会看到这样的情景:每当数学考试成绩不太理想的时候,家长就常常怪自己的孩子做数学题目太少,似乎做题目的数量多少和解题的能力的强弱有着直接的关系。

很多学生认为:解题越多,见的套路就越多,方法也就越多,这样解题的能力就越会强了。

正是由于很多的学生包括家长是这样理解的,为了学好数学,很多学生花了大量的时间在做数学题,希望能够以此来提高数学成绩。

这种认识和做法,有点像竞技体育的运动员的训练。2017年世界兵乓球锦标赛上,中国队再次取得了优异的成绩。在比赛转播时,评论席上的评论员在谈到运动员的训练时说,为了取得好成绩,兵乓球远动员每天都要进行大运动量的训练,对手打过来的球如果思考对策后再打回过去就来不及了,要训练到凭感觉把球打回去。这是竞技体育的特点,大运动量、高强度的训练的确可以提高比赛成绩。

但数学学习不是这样的,学数学是要学会数学的思维方法,而思维是离不开人的思维活动的。盲目做题、套用方法做题,都不是好的学习数学的方法,因为这样的学习,看似很勤奋,但是没有思维的投入,就是没有学到点上。

题目的确要多做,但是要清楚,通过做数学题目,要学会理解数学问题;找到解决数学问题的一般方法。当你做了10道、20道题目之后,就要想一想,这些问题的解决,有没有共同的方法?只要找到了解决数学问题的一般方法,再做题目,就是要验证这个方法,是不是还能用?

数学问题的形式可以是多种多样的,但是研究数学对象的性质的方法是一致的,从这个意义来说,解决数学问题的方法是越少越好。

作为家长,我们不能仅满足于孩子做了很多的数学题,而是更应该关注,您的孩子通过做数学题,是否找到了解决数学问题的一般方法。

成功其实很简单,就是当你坚持不住的时候,再坚持一下;学习也是一样,不是所有人一开始就是学霸,只要你愿意努力,找对方法,人人都能当学霸!

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